Wir führen Induktion über ${\displaystyle {}n}$. Bei ${\displaystyle {}n=1}$ ist die Aussage trivial. Sei die Aussage für ${\displaystyle {}n}$ Primideale bewiesen, und seien ${\displaystyle {}n+1}$ Primideale gegeben. Für jedes ${\displaystyle {}i}$ können wir annehmen, dass ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\not \subseteq \bigcup _{j\neq i}{\mathfrak {p}}_{j}}$ ist, da andernfalls die Aussage nach Induktionsvoraussetzung bewiesen ist. Demnach gibt es jeweils ein ${\displaystyle {}f_{i}\in {\mathfrak {a}}}$ mit ${\displaystyle {}f_{i}\notin \bigcup _{j\neq i}{\mathfrak {p}}_{j}}$. Dann muss insbesondere ${\displaystyle {}f_{i}\in {\mathfrak {p}}_{i}}$ sein. Das Element ${\displaystyle {}f_{1}+f_{2}f_{3}\cdots f_{n+1}}$ gehört zu ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ und damit ist auch ${\displaystyle {}f_{1}+f_{2}f_{3}\cdots f_{n+1}\in {\mathfrak {p}}_{i}}$ für ein ${\displaystyle {}i}$. Dies ist aber sowohl bei ${\displaystyle {}i=1}$ als auch bei ${\displaystyle {}i\geq 2}$ ein Widerspruch.