Es sei ${\displaystyle {}x_{n}}$ eine rationale echt fallende Folge (bei ${\displaystyle {}a\geq 1}$; bei ${\displaystyle {}a<1}$ wählen wir eine rationale echt wachsende positive Folge), die gegen ${\displaystyle {}x}$ konvergiert. Wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion zur Basis ${\displaystyle {}a}$ konvergiert auch ${\displaystyle {}a^{x_{n}}}$ gegen ${\displaystyle {}a^{x}}$. In jedem Fall ist dies eine (bei ${\displaystyle {}a\neq 1}$) echt fallende Folge. Wegen der Konvergenz gibt es ein rationales ${\displaystyle {}z=x_{n}}$ mit

${\displaystyle {}a^{x}\leq a^{z}<b^{y}\,.}$

Die Funktion

${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,a\longmapsto a^{z},}$

ist als Hintereinanderschaltung einer Potenz und einer Wurzel nach Fakt und Fakt ebenfalls stetig. Somit gilt für eine rationale Folge ${\displaystyle {}a_{n}}$, die gegen ${\displaystyle {}a}$ konvergiert, dass auch ${\displaystyle {}a_{n}^{z}}$ gegen ${\displaystyle {}a^{z}}$ konvergiert. Wir wählen die Folge ${\displaystyle {}a_{n}}$ echt fallend, so dass auch ${\displaystyle {}a_{n}^{z}}$ echt fallend ist. Für ${\displaystyle {}n}$ hinreichend groß ist dann

${\displaystyle {}a^{x}\leq a^{z}<a_{n}^{z}<b^{y}\,,}$

und wir können ${\displaystyle {}c=a_{n}}$