Die nullte Ableitung von

${\displaystyle {}x^{0}=1\,}$

ist diese Funktion selbst, ferner ist ${\displaystyle {}0!=1}$, was den Induktionsanfang sichert. Der Induktionsschluss ergibt sich für ${\displaystyle {}n\geq 1}$ mit

${\displaystyle {}{\left(x^{n}\right)}^{(n)}={\left(nx^{n-1}\right)}^{(n-1)}=n{\left(x^{n-1}\right)}^{(n-1)}=n((n-1)!)=n!\,.}$