Es geht um eine reelle Lösung für die Gleichung

${\displaystyle f(x)=x^{4}-2x^{3}=-{\sqrt {42}}.}$

Für ${\displaystyle {}x<0}$ und ${\displaystyle {}x>2}$ ist ${\displaystyle {}f(x)=x^{3}(x-2)>0}$, es kann also allenfalls in ${\displaystyle {}[0,2]}$ eine Lösung geben. Dazu bestimmen wir, wo die Funktion ${\displaystyle {}f}$ ihr Minimum annimmt. Für die Ableitung gilt

${\displaystyle {}f'(x)=4x^{3}-6x^{2}=2x^{2}(2x-3)\,.}$

An den beiden Nullstellen ${\displaystyle {}0}$ und ${\displaystyle {}{\frac {3}{2}}}$ sind die Werte

${\displaystyle {}f(0)=0\,}$

und

${\displaystyle {}f{\left({\frac {3}{2}}\right)}={\frac {27}{8}}{\left({\frac {3}{2}}-2\right)}={\frac {27}{8}}{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}=-{\frac {27}{16}}>-2>-{\sqrt {42}}\,.}$

${\displaystyle {}f}$

${\displaystyle {}-{\sqrt {42}}}$