Da partielle Ableitungen mit Addition und Skalarmultiplikation verträglich sind, und da ein Polynom eine Summe aus Monomen, multipiziert mit Konstanten ist, genügt es, die Aussage für Monome

${\displaystyle {}f=x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}\,}$

zu zeigen. Bei ${\displaystyle {}i=j}$ ist die Aussage richtig, so dass wir ${\displaystyle {}j>i}$ annehmen. Es ist

${\displaystyle {}{\frac {\partial x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}}{\partial x_{i}}}=k_{i}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{i-1}^{k_{i-1}}x_{i}^{k_{i}-1}x_{i+1}^{k_{i+1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}\,.}$

Wenn ${\displaystyle {}k_{i}=0}$ ist, so ist dies ${\displaystyle {}0}$, und in diesem Fall sind auch ${\displaystyle {}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}$ und ${\displaystyle {}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}}$ die Nullfunktion, also gleich. Dies ist auch bei ${\displaystyle {}k_{j}=0}$ der Fall. Seien also ${\displaystyle {}k_{i},k_{j}\neq 0}$. Dann ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\left({\frac {\partial x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}}{\partial x_{i}}}\right)}&={\frac {\partial {\left(k_{i}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{i-1}^{k_{i-1}}x_{i}^{k_{i}-1}x_{i+1}^{k_{i+1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}\right)}}{\partial x_{j}}}\\&=k_{i}k_{j}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{i-1}^{k_{i-1}}x_{i}^{k_{i}-1}x_{i+1}^{k_{i+1}}\cdots x_{j-1}^{k_{j-1}}x_{j}^{k_{j}-1}x_{j+1}^{k_{j+1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}.\end{aligned}}}$