Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}(x-a)^{2}(x-b)^{2}&={\left(x^{2}-2ax+a^{2}\right)}{\left(x^{2}-2bx+b^{2}\right)}\\&=x^{4}-2(a+b)x^{3}+{\left(a^{2}+b^{2}+4ab\right)}x^{2}+{\left(-2a^{2}b-2ab^{2}\right)}x+a^{2}b^{2}.\end{aligned}}}$

Der Vergleich mit ${\displaystyle {}x^{4}-x^{3}}$ führt auf das Gleichungssystem

${\displaystyle {}2(a+b)=1\,}$

und

${\displaystyle {}a^{2}+b^{2}+4ab=0\,,}$

der lineare Anteil bleibt zuerst unberücksichtigt. Wir lösen die erste Gleichung nach ${\displaystyle {}a}$ auf und erhalten

${\displaystyle {}a={\frac {1}{2}}-b\,.}$

Dies eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left({\frac {1}{2}}-b\right)}^{2}+b^{2}+4{\left({\frac {1}{2}}-b\right)}b&={\frac {1}{4}}-b+b^{2}+b^{2}+2b-4b^{2}\\&=-2b^{2}+b+{\frac {1}{4}}\\&=0.\end{aligned}}}$

Somit muss die quadratische Gleichung

${\displaystyle {}b^{2}-{\frac {1}{2}}b-{\frac {1}{8}}=0\,}$

gelöst werden. Die Lösungen sind

${\displaystyle {}b={\frac {\pm {\sqrt {3}}}{4}}+{\frac {1}{4}}\,,}$

wobei ${\displaystyle {}a}$ dann die andere Lösung ist (${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$ sind in der Fragestellung und in dem Gleichungssystem gleichberechtigt). Wir setzen

${\displaystyle {}b={\frac {-{\sqrt {3}}}{4}}+{\frac {1}{4}}={\frac {1-{\sqrt {3}}}{4}}\,}$

und

${\displaystyle {}a={\frac {1+{\sqrt {3}}}{4}}\,.}$

Daraus ergeben sich dann

${\displaystyle {}{\begin{aligned}c&=2a^{2}b+2ab^{2}\\&=2ab(a+b)\\&=2{\left({\frac {1+{\sqrt {3}}}{4}}\right)}{\left({\frac {1-{\sqrt {3}}}{4}}\right)}{\frac {1}{2}}\\&=-{\frac {2}{16}}\\&=-{\frac {1}{8}}\end{aligned}}}$

und

${\displaystyle {}{\begin{aligned}d&=-a^{2}b^{2}\\&=-{\left({\frac {1+{\sqrt {3}}}{4}}\right)}^{2}{\left({\frac {1-{\sqrt {3}}}{4}}\right)}^{2}\\&=-{\frac {4}{256}}\\&=-{\frac {1}{64}}.\end{aligned}}}$

Es ist also

${\displaystyle {}x^{4}-x^{3}={\left(x-{\frac {{\sqrt {3}}+1}{4}}\right)}^{2}{\left(x-{\frac {-{\sqrt {3}}+1}{4}}\right)}^{2}-{\frac {1}{8}}x-{\frac {1}{64}}\,.}$