Zunächst ist ${\displaystyle {}1}$ eine Nullstelle und daher ist ${\displaystyle {}X-1}$ ein Linearfaktor. Division mit Rest ergibt

${\displaystyle {}(X^{3}-1)=(X-1)(X^{2}+X+1)\,.}$

Wir müssen also noch die komplexen Nullstellen von ${\displaystyle {}X^{2}+X+1}$ bestimmen. Dazu ist

${\displaystyle {}X^{2}+X+1={\left(X+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {1}{4}}+1={\left(X+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}+{\frac {3}{4}}\,.}$

Damit ist

${\displaystyle {}X+{\frac {1}{2}}=\pm {\mathrm {i} }{\sqrt {\frac {3}{4}}}\,}$

und somit sind die weiteren Nullstellen

${\displaystyle x_{2}=-{\frac {1}{2}}+{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\,{\text{ und }}\,\,x_{3}=-{\frac {1}{2}}-{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {3}}{2}}.}$