Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}(x-a)^{2}(x-b)^{2}&={\left(x^{2}-2ax+a^{2}\right)}{\left(x^{2}-2bx+b^{2}\right)}\\&=x^{4}-2(a+b)x^{3}+{\left(a^{2}+b^{2}+4ab\right)}x^{2}+{\left(-2a^{2}b-2ab^{2}\right)}x+a^{2}b^{2}.\end{aligned}}}$

Der Vergleich mit ${\displaystyle {}x^{4}+rx^{3}+sx^{2}}$ führt auf das Gleichungssystem

${\displaystyle {}-2(a+b)=r\,}$

und

${\displaystyle {}a^{2}+b^{2}+4ab=s\,.}$

Wir lösen die erste Gleichung nach ${\displaystyle {}a}$ auf und erhalten

${\displaystyle {}a=-b-{\frac {r}{2}}\,.}$

Dies eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(-b-{\frac {r}{2}}\right)}^{2}+b^{2}+4{\left(-b-{\frac {r}{2}}\right)}b&=b^{2}+br+{\frac {r^{2}}{4}}+b^{2}-4b^{2}-2rb\\&=-2b^{2}-rb+{\frac {r^{2}}{4}}\\&=0.\end{aligned}}}$

Somit muss die quadratische Gleichung

${\displaystyle {}b^{2}+{\frac {r}{2}}b-{\frac {r^{2}}{8}}=0\,}$

gelöst werden. Dies führt auf

${\displaystyle {}{\left(b+{\frac {r}{4}}\right)}^{2}={\frac {r^{2}}{8}}+{\frac {r^{2}}{16}}={\frac {3r^{2}}{16}}\,,}$

was stets eine Lösung besitzt. Die Lösungen sind

${\displaystyle {}b={\frac {\pm {\sqrt {3}}r}{4}}-{\frac {r}{4}}\,,}$

wobei ${\displaystyle {}a}$ dann die andere Lösung ist (${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$ sind in der Fragestellung und in dem Gleichungssystem gleichberechtigt). Mit diesen ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$

hat man Übereinstimmung in den höheren Koeffizienten und durch Wahl des linearen Terms ${\displaystyle {}cx+d}$ kann man überhaupt Übereinstimmung erreichen.