Mit

${\displaystyle {}y=f(x)=-3x+x^{3}\,.}$

und

${\displaystyle {}g(y)=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}y^{k}\,}$

wird die Bedingung

${\displaystyle {}g(f(x))=x\,}$

ausgeschrieben zu

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}(-3x+x^{3})^{k}&=b_{0}+b_{1}(-3x+x^{3})+b_{2}(-3x+x^{3})^{2}+b_{3}(-3x+x^{3})^{3}+b_{4}(-3x+x^{3})^{4}+\ldots \\&=x.\end{aligned}}}$

Daraus können die ${\displaystyle {}b_{k}}$ sukzessive durch Koeffizientenvergleich bestimmt werden, da in der unendlichen Summe nur endlich viele Terme die Koeffizienten bestimmen. Zunächst ergibt sich

${\displaystyle {}b_{0}=0\,.}$

Aus (Koeffizient vor ${\displaystyle {}x}$)

${\displaystyle {}-3b_{1}=1\,}$

ergibt sich

${\displaystyle {}b_{1}=-{\frac {1}{3}}\,.}$

Aus (Koeffizient vor ${\displaystyle {}x^{2}}$)

${\displaystyle {}9b_{2}=0\,}$

ergibt sich

${\displaystyle {}b_{2}=0\,.}$

Aus (Koeffizient vor ${\displaystyle {}x^{3}}$)

${\displaystyle {}b_{1}-27b_{3}=0\,}$

ergibt sich

${\displaystyle {}b_{3}={\frac {1}{81}}\,.}$

Aus (Koeffizient vor ${\displaystyle {}x^{4}}$)

${\displaystyle {}-6b_{2}+81b_{4}=0\,}$

ergibt sich

${\displaystyle {}b_{4}=0\,.}$