Es sei ${\displaystyle {}z_{n}\in \mathbb {C} }$ eine Folge von komplexen Zahlen, die wir in Polarkoordinaten als

${\displaystyle z_{n}=r_{n}e^{{\mathrm {i} }\varphi _{n}}}$

mit ${\displaystyle {}r_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}}$ und ${\displaystyle {}\varphi _{n}\in [0,2\pi [}$ schreiben. Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn einer der folgenden Fälle vorliegt.

1. Die Folge ${\displaystyle {}r_{n}}$ konvergiert gegen ${\displaystyle {}0}$.
2. Die beiden Folgen ${\displaystyle {}r_{n}}$ und ${\displaystyle {}\varphi _{n}}$ konvergieren (in ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$).
3. Die Folge ${\displaystyle {}r_{n}}$ konvergiert und die Folge ${\displaystyle {}\varphi _{n}}$ besitzt die Punkte ${\displaystyle {}0}$ und ${\displaystyle {}2\pi }$ als einzige Häufungspunkte.