Wegen der Voraussetzung gibt es eine Transposition ${\displaystyle {}\tau }$, die wir fixieren. Es sei ${\displaystyle {}G}$ die Menge der geraden und ${\displaystyle {}U}$ die Menge der ungeraden Permutationen. Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle G\longrightarrow U,\,\pi \longmapsto \pi \circ \tau .}$

Dies ist eine wohldefinierte Abbildung aufgrund der Tatsache, dass das Signum ein Gruppenhomomorphismus ist und dass das Signum einer Transposition gleich ${\displaystyle {}-1}$ ist. Die Abbildung ist bijektiv, und zwar ist die Multiplikation mit ${\displaystyle {}\tau }$ von rechts die Umkehrabbildung. Also besitzen ${\displaystyle {}G}$ und ${\displaystyle {}U}$