Sei ${\displaystyle {}I={\{1,\ldots ,n\}}}$ und sei ${\displaystyle {}\pi }$ eine Permutation auf ${\displaystyle {}I}$. Die zugehörige Permutationsmatrix ${\displaystyle {}M_{\pi }}$ ist dadurch gegeben, dass

${\displaystyle {}a_{\pi (j),j}=1\,}$

ist und alle anderen Einträge ${\displaystyle {}0}$ sind.

a) Bestimme die Permutationsmatrix zur Permutation

${\displaystyle {}x}$	${\displaystyle {}1}$	${\displaystyle {}2}$	${\displaystyle {}3}$	${\displaystyle {}4}$
${\displaystyle {}\pi (x)}$	${\displaystyle {}3}$	${\displaystyle {}1}$	${\displaystyle {}4}$	${\displaystyle {}2}$

b) Zeige, dass die Abbildung

${\displaystyle S_{n}\longrightarrow \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)},\,\pi \longmapsto M_{\pi },}$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

c) Zeige, dass

${\displaystyle {}\det M_{\pi }=\operatorname {sgn} (\pi )\,}$