Wenn ${\displaystyle {}\pi }$ die Identität ist, so ist für jedes ${\displaystyle {}i<j}$ natürlich auch ${\displaystyle {}\pi (i)=i<j=\pi (j)}$, so dass kein Fehlstand vorliegt. Die Umkehrung beweisen wir durch Induktion über ${\displaystyle {}n}$. Für ${\displaystyle {}n=1}$ ist die Aussage richtig. Sei sie für ${\displaystyle {}n}$ schon bewiesen und sei eine Permutation ${\displaystyle {}\pi }$ auf ${\displaystyle {}\{1,\ldots ,n+1\}}$ ohne Fehlstand gegeben. Für jedes ${\displaystyle {}i<n+1}$ gilt dann ${\displaystyle {}\pi (i)<\pi (n+1)}$. Die ${\displaystyle {}n}$ verschiedenen Zahlen ${\displaystyle {}\pi (i)}$, ${\displaystyle {}i={\{1,\ldots ,n\}}}$, sind also kleiner als ${\displaystyle {}\pi (n+1)}$, und daher ist die einzige verbleibende Möglichkeit

${\displaystyle {}\pi (n+1)=n+1\,.}$

Daher ist ${\displaystyle {}n+1}$ ein Fixpunkt von ${\displaystyle {}\pi }$ und somit kann man ${\displaystyle {}\pi }$ als eine Permutation auf ${\displaystyle {}{\{1,\ldots ,n\}}}$ auffassen. Diese besitzt ebenfalls keinen Fehlstand und ist nach Induktionsvoraussetzung die Identität, also ist auch ${\displaystyle {}\pi }$ die Identität.