Es sei ${\displaystyle {}\Gamma }$ die Menge der aus den erststufigen Peano-Axiomen ableitbaren Ausdrücke. Wir betrachten die Ausdrücke ${\displaystyle {}\alpha _{n}}$ mit

${\displaystyle {}\alpha _{n}=\neg {\left(x=1+1+\cdots +1\right)}\,,}$

wobei rechts die ${\displaystyle {}n}$-fache formale Summe der ${\displaystyle {}1}$ mit sich selbst steht. Es sei

${\displaystyle {}\Delta ={\left(\Gamma \cup \bigcup _{n\in \mathbb {N} }\{\alpha _{n}\}\right)}^{\vdash }\,.}$

Diese Menge ist widerspruchsfrei, da jede endliche Teilmenge davon widerspruchsfrei ist, da sie in ${\displaystyle {}\mathbb {N} }$ mit einer hinreichend großen Belegung für ${\displaystyle {}x}$ erfüllbar ist. Nach Fakt ist also auch ${\displaystyle {}\Delta }$ erfüllbar, und es sei ${\displaystyle {}M}$ ein erfüllendes Modell. Es gibt dann in ${\displaystyle {}M}$ ein Element ${\displaystyle {}m\in M}$, wodurch ${\displaystyle {}x}$ belegt wird. Dieses ${\displaystyle {}m}$ ist dann von allen natürlichen Zahlen, die in ${\displaystyle {}M}$ natürlicherweise eingebettet sind, verschieden, und somit ist ${\displaystyle {}M\neq \mathbb {N} }$.