Nach Fakt liegt eine echte Erweiterung ${\displaystyle {}PA\subset \mathbb {N} _{0}^{\vDash }}$ vor. Es gibt somit Sätze ${\displaystyle {}\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{\vDash }}$ mit ${\displaystyle {}\alpha \notin PA}$. Es ist ferner ${\displaystyle {}\neg \alpha \notin PA}$, da andernfalls ${\displaystyle {}\mathbb {N} _{0}^{\vDash }}$ widersprüchlich wäre. Es ist ${\displaystyle {}PA\cup \{\neg \alpha \}}$ widerspruchsfrei, da man sonst aus ${\displaystyle {}PA}$ den Satz ${\displaystyle {}\alpha }$ ableiten könnte, was wegen der Abgeschlossenheit unter Ableitungen und wegen ${\displaystyle {}\alpha \notin PA}$ nicht der Fall ist. Nach dem Vollständigkeitssatz gibt es somit ein Modell ${\displaystyle {}M}$ mit

${\displaystyle {}PA\cup \{\neg \alpha \}\subseteq M_{0}^{\vDash }\,.}$

Dabei ist ${\displaystyle {}M_{0}^{\vDash }}$ vollständig. Wegen ${\displaystyle {}\neg \alpha \in M_{0}^{\vDash }}$ und ${\displaystyle {}\neg \alpha \notin \mathbb {N} _{0}^{\vDash }}$ ist

${\displaystyle {}M_{0}^{\vDash }\neq \mathbb {N} _{0}^{\vDash }}$