Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine ${\displaystyle {}(n+1)}$-elementige Menge, ${\displaystyle {}m\in M}$ ein fixiertes Element und

${\displaystyle {}N:=M\setminus \{m\}\,.}$

Wir teilen die Partitionen von ${\displaystyle {}M}$ auf je nachdem, ob ${\displaystyle {}\{m\}}$ ein Block in der Partition ist oder nicht. Eine Partition von ${\displaystyle {}M}$, bei der ${\displaystyle {}\{m\}}$ einen Einzelblock bildet, entspricht einer Partition von ${\displaystyle {}N}$ in ${\displaystyle {}k-1}$ Blöcke, was den zweiten Summanden erklärt. Bei einer Partition von ${\displaystyle {}M}$, bei der ${\displaystyle {}\{m\}}$ keinen Einzelblock bildet, gehört ${\displaystyle {}m}$ zu einem Block mit zumindest zwei Elementen. Wenn ${\displaystyle {}B_{1},\ldots ,B_{k}}$ die Blöcke sind, so ist ${\displaystyle {}B_{1}\cap N,\ldots ,B_{k}\cap N}$ eine Partition von ${\displaystyle {}N}$ mit ${\displaystyle {}k}$ Blöcken. Deren Anzahl beträgt ${\displaystyle {}S({n},{k})}$. Eine jede solche Partition kann man auf ${\displaystyle {}k}$ verschiedene Weisen zu einer Partition auf ${\displaystyle {}M}$ fortsetzen, je nachdem, zu welchem Block man ${\displaystyle {}m}$ hinzuschlägt. Dies ergibt den ersten Summanden.