Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine Menge, ${\displaystyle {}P}$ und ${\displaystyle {}Q}$ seien Partitionen mit zugehörigen surjektiven Abbildungen

${\displaystyle f\colon M\longrightarrow \{1,\ldots ,k\}}$

bzw.

${\displaystyle g\colon M\longrightarrow \{1,\ldots ,m\}}$

im Sinne von Bemerkung. Zeige, dass ${\displaystyle {}P}$ genau dann eine Verfeinerung von ${\displaystyle {}Q}$ ist, wenn es eine Faktorisierung von ${\displaystyle {}g}$ über ${\displaystyle {}f}$ gibt, wenn es also eine Abbildung

${\displaystyle h\colon \{1,\ldots ,k\}\longrightarrow \{1,\ldots ,m\}}$

mit ${\displaystyle {}g=h\circ f}$