Für ${\displaystyle {}0,1,2}$ besitzt das Polynom ${\displaystyle {}X^{3}+X^{2}+2}$ die Werte ${\displaystyle {}2,1,2}$, also keine Nullstelle. Nach Fakt ist es also irreduzibel.

b) Polynomdivision führt auf

${\displaystyle {}X^{4}=(X^{3}+X^{2}+2)(X+2)+X^{2}+X+2\,.}$

Daher ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {X^{4}}{(X^{3}+X^{2}+2)^{2}}}&={\frac {(X^{3}+X^{2}+2)(X+2)+X^{2}+X+2}{(X^{3}+X^{2}+2)^{2}}}\\&={\frac {X+2}{(X^{3}+X^{2}+2)}}+{\frac {X^{2}+X+2}{(X^{3}+X^{2}+2)^{2}}}.\end{aligned}}}$