Der Vektor ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}}}$ besitzt die Norm ${\displaystyle {}{\sqrt {5}}}$, somit ist

${\displaystyle {}u_{1}={\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {2}{\sqrt {5}}}\\{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0\end{pmatrix}}\,}$

der zugehörige normierte Vektor. Der zweite Vektor muss senkrecht zu ${\displaystyle {}u_{1}}$ sein und zusammen mit ${\displaystyle {}u_{1}}$ den Untervektorraum ${\displaystyle {}\langle {\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}\rangle }$ aufspannen. Dies führt zum Ansatz

${\displaystyle {}0=\left\langle {\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}}\right\rangle =\left\langle {\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\lambda +1\\\lambda \\-1\end{pmatrix}}\right\rangle =2+5\lambda \,,}$

so dass

${\displaystyle {}\lambda =-{\frac {2}{5}}\,}$

ist. Somit ist

${\displaystyle {}w_{2}={\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}-{\frac {2}{5}}{\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{5}}\\-{\frac {2}{5}}\\-1\end{pmatrix}}\,.}$

Die Norm dieses Vektors ist ${\displaystyle {}{\frac {\sqrt {30}}{5}}}$. Der normierte Vektor zu ${\displaystyle {}w_{2}}$ ist demnach

${\displaystyle {}u_{2}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {30}}}\\-{\frac {2}{\sqrt {30}}}\\-{\frac {5}{\sqrt {30}}}\end{pmatrix}}\,.}$

Der dritte Vektor muss senkrecht auf ${\displaystyle {}u_{1}}$ und ${\displaystyle {}u_{2}}$ (bzw. auf ${\displaystyle {}w_{1}}$ und ${\displaystyle {}w_{2}}$) stehen. Ein solcher Vektor ist

${\displaystyle {}w_{3}={\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}}\,.}$

Daher kann man

${\displaystyle {}u_{3}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\\{\frac {2}{\sqrt {6}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{pmatrix}}\,}$