Der Vektor ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}}$ besitzt die Norm ${\displaystyle {}{\sqrt {2}}}$, somit ist

${\displaystyle u_{1}={\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}}$

der zugehörige normierte Vektor. Der zweite Vektor muss senkrecht zu ${\displaystyle {}u_{1}}$ sein und zusammen mit ${\displaystyle {}u_{1}}$ den Untervektorraum ${\displaystyle {}\langle {\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}\rangle }$ aufspannen. Dies führt zum Ansatz

${\displaystyle {}0=\left\langle {\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}\right\rangle =\left\langle {\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\lambda \\1\\1+\lambda \end{pmatrix}}\right\rangle =1+1+\lambda \,,}$

so dass

${\displaystyle {}\lambda =-2\,}$

und ${\displaystyle {}w_{2}={\begin{pmatrix}-2\\1\\-1\end{pmatrix}}}$ ist. Der normierte Vektor dazu ist

${\displaystyle u_{2}={\begin{pmatrix}-{\frac {2}{\sqrt {6}}}\\{\frac {1}{\sqrt {6}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{pmatrix}}.}$

Der dritte Vektor muss senkrecht auf ${\displaystyle {}u_{1}}$ und ${\displaystyle {}u_{2}}$ stehen. Ein solcher Vektor ist offenbar ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}}}$. Daher kann man

${\displaystyle u_{3}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\\{\frac {1}{\sqrt {3}}}\end{pmatrix}}}$