Sei ${\displaystyle {}M}$ eine Teilmenge von ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ und ${\displaystyle {}\epsilon >0}$. Wir definieren ${\displaystyle {}T_{\epsilon }(M):=\{x\in \mathbb {R}$ :\vert {x-a}\vert >\epsilon {\text{ für alle }}a\in M\}} . Zeige die folgenden Aussagen:

1. Falls ${\displaystyle {}M}$ offen ist, so ist ${\displaystyle {}T_{\epsilon }(M)}$ abgeschlossen.
2. Falls ${\displaystyle {}M}$ abgeschlossen ist, so ist ${\displaystyle {}T_{\epsilon }(M)}$ offen.
3. Die Umkehrungen der ersten beiden Aussagen sind falsch.