{{ Mathematischer Text/Lösung |Text= Die obere Sphärenhälfte ist der Graph zur Funktion

${\displaystyle \psi \colon B\left(0,1\right)\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(u,v)\longmapsto {\sqrt {1-u^{2}-v^{2}}}.}$

Die partiellen Ableitungen der Parametrisierung dieses Graphen sind ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\0\\{\frac {-u}{\sqrt {1-u^{2}-v^{2}}}}\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0\\1\\{\frac {-v}{\sqrt {1-u^{2}-v^{2}}}}\end{pmatrix}}}$ und daher ist nach Fakt die Wurzelfunktion aus

${\displaystyle {}1+{\frac {u^{2}}{1-u^{2}-v^{2}}}+{\frac {v^{2}}{1-u^{2}-v^{2}}}={\frac {1}{1-u^{2}-v^{2}}}\,}$

ausschlaggebend. Der Flächeninhalt der halben Einheitssphäre ist somit

${\displaystyle \int _{B}{\frac {1}{\sqrt {1-u^{2}-v^{2}}}}d\lambda ^{2}.}$

Mit der Substitution ${\displaystyle {}u={\sqrt {w}}\cos \alpha }$ und ${\displaystyle {}v={\sqrt {w}}\sin \alpha }$ ergibt sich mit der Transformationsformel unter Verwendung von Aufgabe {{ Ma:Vergleichskette/disp | \int_B \frac{ 1 }{ \sqrt{1- u^2 -v^2} } d \lambda^2 || \int_{[0,2 \pi] \times [0,1] } \frac{ 1 }{ 2 } \cdot \frac{ 1 }{ \sqrt{1- w} } d \lambda^2 || \pi \cdot \int_0^1 \frac{ 1 }{ \sqrt{1- w} } dw || \pi \cdot ( -2\sqrt{1-w}){{|}}_0^1 || 2 \pi |SZ=. }} Der Flächeninhalt der Sphäre ist also ${\displaystyle {}4\pi }$. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}