Wir führen Induktion über den Index der Spalten, wir zeigen also, dass in den ersten ${\displaystyle {}k}$ Spalten oberhalb der Diagonalen nur ${\displaystyle {}0}$ stehen. Für die erste Spalte ist dies klar. Sei also nun als Induktionsvoraussetzung schon bewiesen, dass in den ersten ${\displaystyle {}k}$ Spalten oberhalb der Diagonalen nur ${\displaystyle {}0}$ stehen. Wir betrachten die ${\displaystyle {}k+1}$-te Spalte

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1\,k+1}\\a_{2\,k+1}\\\vdots \\a_{k\,k+1}\\1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}.}$

Da ${\displaystyle {}\varphi }$ winkeltreu ist, ist insbesondere

${\displaystyle {}\left\langle \varphi (e_{i}),\varphi (e_{j})\right\rangle =\left\langle e_{i},e_{j}\right\rangle =\delta _{ij}\,.}$

Die Spalten der Matrix sind ${\displaystyle {}\varphi (e_{j})}$. Daher ist für

${\displaystyle {}i<k+1\,}$

unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung

${\displaystyle {}0=\left\langle \varphi (e_{i}),\varphi (e_{k+1})\right\rangle =\left\langle e_{i},{\begin{pmatrix}a_{1\,k+1}\\a_{2\,k+1}\\\vdots \\a_{k\,k+1}\\1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}\right\rangle =a_{i\,k+1}\,,}$

${\displaystyle {}k+1}$

${\displaystyle {}0}$