a) Die Jacobi-Matrix ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {1}{f(y)}}&{\frac {xf'(y)}{-(f(y))^{2}}}\\0&f(y)\end{pmatrix}}.}$

b) Die Abbildung ${\displaystyle {}\varphi }$ ist nach den Voraussetzungen an ${\displaystyle {}f}$ stetig differenzierbar. Die Determinante der Jacobi-Matrix ist in jedem Punkt

${\displaystyle {}{\frac {1}{f(y)}}f(y)=1\,,}$

daher ist das totale Differential bijektiv und der Satz ist anwendbar.

c) Seien ${\displaystyle {}(x,y),\,(x',y')}$ mit dem gleichen Bildpunkt gegeben. Da ${\displaystyle {}f}$ stetig und nullstellenfrei ist, ist ${\displaystyle {}f}$ entweder überall positiv oder überall negativ. Daher ist die Stammfunktion ${\displaystyle {}g}$ streng wachsend oder streng fallend und jedenfalls injektiv. Aus ${\displaystyle {}g(y)=g(y')}$ folgt also ${\displaystyle {}y=y'}$. Aus

${\displaystyle {}{\frac {x}{f(y)}}={\frac {x'}{f(y')}}\,}$

folgt sodann

${\displaystyle {}x=x'\,.}$