Die Matrizen

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$

sind beide nilpotent. Ihre Summe ist

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\,.}$

Diese ist invertierbar und insbesondere nicht nilpotent. Somit sind die nilpotenten Matrizen nicht abgeschlossen unter der Addition und bilden insbesondere keinen Untervektorraum.