Wir schreiben

${\displaystyle {}x=10^{\ell }-1\,}$

und

${\displaystyle {}y=10^{m}-1\,.}$

Es sei zuerst ${\displaystyle {}\ell }$ ein Teiler von ${\displaystyle {}m}$, also

${\displaystyle {}m=\ell k\,.}$

Dann ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}y&=10^{m}-1\\&=10^{\ell k}-1\\&={\left(10^{\ell }\right)}^{k}-1\\&={\left(10^{\ell }-1\right)}\cdot {\left(10^{(k-1)\ell }+\cdots +10^{2\ell }+10^{\ell }+1\right)},\end{aligned}}}$

also ist ${\displaystyle {}x}$ ein Teiler von ${\displaystyle {}y}$.

Für die Umkehrung schreiben wir

${\displaystyle {}m=\ell k+r\,}$

mit ${\displaystyle {}0\leq r<\ell }$ und setzen voraus, dass ${\displaystyle {}y}$ von ${\displaystyle {}x}$ geteilt wird. Es ist ${\displaystyle {}r=0}$ zu zeigen. Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}y&=10^{m}-1\\&=10^{\ell k+r}-1\\&=10^{\ell k}\cdot 10^{r}-1\\&={\left(10^{\ell k}-1\right)}\cdot 10^{r}+10^{r}-1.\end{aligned}}}$

Nach der Hinrichtung ist der linke Faktor des linken Summanden ein Vielfaches von ${\displaystyle {}10^{\ell }-1}$. Wenn auch ${\displaystyle {}y}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}10^{\ell }-1}$ ist, so muss auch die Differenz, also ${\displaystyle {}10^{r}-1}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}10^{\ell }-1}$ sein. Dies kann aber aus Größengründen nur bei ${\displaystyle {}r=0}$