Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}f,g\in R}$ Elemente. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. Es ist ${\displaystyle {}D(f)\subseteq D(g)}$ (im Spektrum von ${\displaystyle {}R}$).
2. Es ist ${\displaystyle {}\operatorname {rad} {\left((f)\right)}\subseteq \operatorname {rad} {\left((g)\right)}}$.
3. Es ist ${\displaystyle {}f\in \operatorname {rad} {\left((g)\right)}}$.
4. Es gibt ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle {}f^{n}\in (g)}$
5. Das Element ${\displaystyle {}g}$ teilt eine Potenz von ${\displaystyle {}f}$.
6. Es ist ${\displaystyle {}g}$ eine Einheit in ${\displaystyle {}R_{f}}$.
7. Es gibt einen ${\displaystyle {}R}$-Algebrahomomorphismus ${\displaystyle {}R_{g}\rightarrow R_{f}}$.