Wir betrachten die Neilsche Parabel ${\displaystyle {}V{\left(X^{2}-Y^{3}\right)}\subseteq K^{2}}$ und bestimmen die Durchschnitte mit den Geraden ${\displaystyle {}G_{\alpha }}$, die durch

${\displaystyle {}\alpha (t)={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}t+b_{1}\\a_{2}t+b_{2}\end{pmatrix}}\,}$

parametrisiert sind. Die Einsetzung ergibt die Bedingung

${\displaystyle {}-a_{2}^{3}t^{3}+{\left(a_{1}^{2}-3a_{2}^{2}b_{2}\right)}t^{2}+{\left(2a_{1}b_{1}-3a_{2}b_{2}^{2}\right)}t+b_{1}^{2}-b_{2}^{3}=0\,}$

für ${\displaystyle {}t}$. Bei ${\displaystyle {}a_{2}=0}$ hat dies den Grad ${\displaystyle {}2}$, andernfalls den Grad ${\displaystyle {}3}$. Die Nullstellen dieses Polynoms und ihre Vielfachheiten variieren mit den Parametern der Gerade. Die Gerade

${\displaystyle {}\alpha (t)={\begin{pmatrix}2t+1\\1t+1\end{pmatrix}}\,}$

führt beispielsweise zu

${\displaystyle {}-t^{3}+t^{2}+t=-t{\left(t-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)}{\left(t-{\frac {-{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)}\,}$

mit drei einfachen Nullstellen, die Gerade

${\displaystyle {}\beta (t)={\begin{pmatrix}t+1\\t+1\end{pmatrix}}\,}$

führt hingegen zu

${\displaystyle {}-t^{3}-2t^{2}-t=-t{\left(t+1\right)}^{2}\,}$

mit der doppelten Nullstelle bei ${\displaystyle {}t=-1}$. Eine Gerade durch den Nullpunkt kann man als

${\displaystyle {}\alpha (t)={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}t\,}$

ansetzen, was zur Bedingung

${\displaystyle {}-a_{2}^{3}t^{3}+a_{1}^{2}t^{2}=0\,}$

führt. Hierbei ist

${\displaystyle {}t=0\,}$

stets eine zumindest doppelte Nullstelle und bei ${\displaystyle {}a_{1}=0}$ sogar eine dreifache Nullstelle.