Jede Gerade in der Ebene wird durch eine Gleichung der Form

${\displaystyle {}ax+by=c\,}$

beschrieben, wobei ${\displaystyle {}a,b}$ nicht beide gleich ${\displaystyle {}0}$ sind. Wenn die gerade durch den Punkt ${\displaystyle {}(1,1)}$ läuft, so ist ${\displaystyle {}a+b=c}$. Wenn ${\displaystyle {}b=0}$ ist, so ist die Gerade durch ${\displaystyle {}x=1}$ gegeben, und es gibt noch den weiteren Schnittpunkt ${\displaystyle {}(1,-1)}$. Sei also ${\displaystyle {}b\neq 0}$. Dann können wir die Geradengleichung nach ${\displaystyle {}y}$ auflösen und erhalten

${\displaystyle {}y=rx+s\,}$

mit ${\displaystyle {}s=1-r}$. Auf einer solchen Geraden wird die Kurvengleichung zu

${\displaystyle {}{\begin{aligned}0&=y^{2}-x^{3}\\&=(rx+(1-r))^{2}-x^{3}\\&=-x^{3}+r^{2}x^{2}+2r(1-r)x+(1-r)^{2}.\end{aligned}}}$

Da

${\displaystyle {}x=1\,}$

eine Nullstelle davon ist, können wir ${\displaystyle {}x-1}$ ausklammern, und zwar ist

${\displaystyle {}-x^{3}+r^{2}x^{2}+2r(1-r)x+(1-r)^{2}=(x-1){\left(-x^{2}-(1-r^{2})x-(1-r)^{2}\right)}\,.}$

Der rechte Faktor ist ein normiertes Polynom vom Grad ${\displaystyle {}2}$, hat also über ${\displaystyle {}\mathbb {C} }$ weitere Nullstellen. Wir müssen zeigen, dass mindestens eine weitere Nullstelle nicht ${\displaystyle {}1}$ ist. Wenn man im rechten Faktor ${\displaystyle {}x=1}$ einsetzt, so erhält man

${\displaystyle {}-1-(1-r^{2})-(1-r)^{2}=-3+r^{2}+2r-r^{2}=2r-3\,.}$

Bei ${\displaystyle {}r\neq {\frac {3}{2}}}$ kann also ${\displaystyle {}1}$ keine Nullstelle sein. Sei also ${\displaystyle {}r={\frac {3}{2}}}$. In diesem Fall ist

${\displaystyle {}x^{2}+(1-r^{2})x+(1-r)^{2}=x^{2}-{\frac {5}{4}}x+{\frac {1}{4}}=(x-1){\left(x-{\frac {1}{4}}\right)}\,}$