a) Wir schreiben die Inhaltsbedingung als

${\displaystyle {}f(a,b,c)=abc=1000\,}$

und die Flächenfunktion (bis auf den Faktor ${\displaystyle {}2}$) als

${\displaystyle {}h(a,b,c)=ab+ac+bc\,.}$

Die Ableitungen in einem Punkt ${\displaystyle {}P=\left(a,\,b,\,c\right)}$ sind

${\displaystyle {}\left(Df\right)_{P}=\left(bc,\,ac,\,ab\right)\,}$

und

${\displaystyle {}\left(Dh\right)_{P}=\left(b+c,\,a+c,\,a+b\right)\,.}$

Den Ansatz für die lineare Abhängigkeit schreiben wir als

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}b+c\\a+c\\a+b\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}bc\\ac\\ab\end{pmatrix}}\,.}$

Die Differenz von je zwei der Gleichungen führt auf

${\displaystyle b-a=\lambda c(b-a),\,c-a=\lambda b(c-a),\,c-b=\lambda a(c-b)\,.}$

Wären die drei Zahlen ${\displaystyle {}a,b,c}$ alle untereinander verschieden, so würde sich durch kürzen sofort der Widerspruch

${\displaystyle {}{\frac {1}{\lambda }}=a=b=c\,}$

ergeben. Bei

${\displaystyle {}a=b\neq c\,}$

ergibt sich

${\displaystyle {}{\frac {1}{\lambda }}=a\,}$

und daraus mit der zweiten Zeile

${\displaystyle {}a+c=c\,,}$

also

${\displaystyle {}a=0\,,}$

was außerhalb des Definitionsbereiches liegt. Die einzige Möglichkeit für einen extremalen Punkt ist also

${\displaystyle {}a=b=c\,}$

(und ${\displaystyle {}\lambda ={\frac {2}{a}}}$). Wegen

${\displaystyle {}abc=1000\,}$

ist dieser Punkt ${\displaystyle {}(10,10,10)}$.

b) Wir arbeiten mit der Abbildung

${\displaystyle \psi \colon \mathbb {R} _{+}^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(a,b)\longmapsto \left(a,\,b,\,{\frac {1000}{ab}}\right).}$

Diese stiftet eine lokale Bijektion zwischen einer offenen Umgebung von ${\displaystyle {}(10,10)}$ und einer offenen Umgebung von ${\displaystyle {}(10,10,10)}$ der Faser von ${\displaystyle {}f}$, so dass es zu untersuchen genügt, ob die Funktion

${\displaystyle {}{\tilde {h}}=h\circ \psi \,}$

in ${\displaystyle {}(10,10)}$ ein Maximum oder ein Minimum besitzt. Es gilt

${\displaystyle {}{\tilde {h}}(a,b)=ab+a{\frac {1000}{ab}}+b{\frac {1000}{ab}}=ab+{\frac {1000}{b}}+{\frac {1000}{a}}\,.}$

Das totale Differential davon ist

${\displaystyle \left(b-{\frac {1000}{a^{2}}},\,a-{\frac {1000}{b^{2}}}\right)}$

mit dem kritischen Punkt ${\displaystyle {}(10,10)}$. Die Hesse-Matrix dazu ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {2000}{a^{3}}}&1\\1&{\frac {2000}{b^{3}}}\end{pmatrix}}.}$

Für den kritischen Punkt ist der Eintrag links oben positiv und die Determinante ist

${\displaystyle {}4-1=3>0\,.}$

Daher ist die Matrix positiv definit und somit liegt ein lokales Minimum vor.

c) Sei

${\displaystyle {}a\leq b\leq c\,.}$

Die Zielfunktion ist jetzt

${\displaystyle {}g(a,b,c)=3ab+ac+bc\,.}$

Die Lagrange-Bedingung ist somit

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}3b+c\\3a+c\\a+b\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}bc\\ac\\ab\end{pmatrix}}\,.}$

Die Differenz der ersten beiden Gleichungen ist

${\displaystyle {}3(b-a)=\lambda c(b-a)\,.}$

Bei ${\displaystyle {}a\neq b}$ ergibt sich

${\displaystyle {}3=\lambda c\,}$

und daraus mit

${\displaystyle {}3b+c=\lambda bc=3b\,}$

der Wert

${\displaystyle {}c=0\,,}$

was nicht erlaubt ist. Also ist

${\displaystyle {}a=b\,.}$

Aus

${\displaystyle {}2a=\lambda a^{2}\,}$

folgt

${\displaystyle {}\lambda ={\frac {2}{a}}\,.}$

Aus

${\displaystyle {}3a+c=\lambda ac=2c\,}$

ergibt sich

${\displaystyle {}c=3a\,.}$

Aus der Volumenbedingung

${\displaystyle {}1000=aa(3a)=3a^{3}\,}$

folgt

${\displaystyle {}a=b={\frac {10}{\sqrt[{3}]{3}}}\,}$

und

${\displaystyle {}c=10\cdot 3^{2/3}\,.}$