Wir betrachten auf ${\displaystyle {}\mathbb {N} _{+}}$ die Relation ${\displaystyle {}\sim }$, die durch

${\displaystyle {}m\sim n\,}$

festgelegt ist, falls ${\displaystyle {}m}$ eine Potenz von ${\displaystyle {}n}$ und ${\displaystyle {}n}$ eine Potenz von ${\displaystyle {}m}$ teilt.

1. Zeige, dass ${\displaystyle {}\sim }$ eine Äquivalenzrelation ist.
2. Bestimme, welche der folgenden Elemente zueinander äquivalent sind, welche nicht.

   ${\displaystyle 100,\,1000,\,9,\,125,\,500,\,27,\,10,\,210.}$

3. Es sei ${\displaystyle {}Q}$ die Quotientenmenge zu dieser Äquivalenzrelation und es sei ${\displaystyle {}\mathbb {P} }$ die Menge der Primzahlen mit der Potenzmenge ${\displaystyle {}{\mathfrak {P}}\,({\mathbb {P} })}$. Zeige, dass es eine natürliche Abbildung

   ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {N} _{+}\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,({\mathbb {P} })}$

   gibt, die zu einer injektiven Abbildung

   ${\displaystyle {\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,({\mathbb {P} })}$

   führt. Ist ${\displaystyle {}{\tilde {\varphi }}}$ surjektiv?

4. Wie sieht ein besonders einfaches Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation aus?