Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Verträglichkeit/Fakt/Beweis

Beweis

Wir beweisen die Aussage duch Induktion über ${}c$ . Bei ${}c=0$ ist die Aussage klar. Für den Induktionsschritt müssen wir lediglich zeigen, dass die Aussage für ${}c=1$ gilt. Bei ${}a=b$ ist die Aussage klar, da der Nachfolger wohldefiniert ist. Bei ${}a>b$ ist nach Fakt (3) ${}a\geq b+1$ und somit
${}a+1>a\geq b+1\,.$

Dies zeigt zugleich, dass aus ${}a>b$ auch ${}a+1>b+1$ folgt. Da die Ordnung total ist, folgt somit auch aus ${}a+1\geq b+1$ die Beziehung ${}a\geq b$ .
Zweifache Anwendung von Teil (1) liefert
${}a+c\geq b+c\geq b+d\,,$

so dass die Transitivität den Schluss ergibt.
Wir führen Induktion nach ${}c$ , die Fälle ${}c=0,1$ sind klar. Sei die Aussage für ${}c$ bewiesen. Dann ist mit dem Distributivgesetz, der Induktionsvoraussetzung und Teil (2)
${}(c+1)a=ca+a\geq cb+b=(c+1)b\,.$
Aus den Voraussetzungen und Teil (3) ergibt sich
${}ac\geq bc\geq bd\,.$
Sei ${}c\geq 1$ und ${}a>b$ . Dann ist ${}a\geq b+1$ und somit ist nach Teil (3)
${}ac\geq (b+1)c=bc+c\geq bc+1\,,$

also ${}ac>bc$ .

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