Wir verwenden die Charakterisierung mit der Addition. Wegen ${\displaystyle {}n=n+0}$ ist ${\displaystyle {}n\geq n}$. Wenn ${\displaystyle {}k\geq \ell }$ und ${\displaystyle {}\ell \geq m}$ ist, so bedeutet dies, dass es natürliche Zahlen ${\displaystyle {}a,b}$ mit ${\displaystyle {}k=\ell +a}$ und ${\displaystyle {}\ell =m+b}$ gibt. Dann gilt insgesamt

${\displaystyle {}k=\ell +a=(m+b)+a=m+(b+a)\,}$

und somit ist auch ${\displaystyle {}k\geq m}$. Aus ${\displaystyle {}k\geq \ell }$ und ${\displaystyle {}\ell \geq k}$ ergibt sich ${\displaystyle {}k=\ell +a}$ und ${\displaystyle {}\ell =k+b}$ und somit ${\displaystyle {}k=k+(a+b)}$. Dies ist nach der Abziehregel nur bei ${\displaystyle {}a+b=0}$ möglich, und dies ist wiederum, da ${\displaystyle {}0}$ kein Nachfolger ist, nur bei ${\displaystyle {}a=b=0}$ möglich. Die Aussage ${\displaystyle {}a\geq b}$ oder ${\displaystyle {}b\geq a}$ beweisen wir durch Induktion über ${\displaystyle {}a}$ (für jedes feste ${\displaystyle {}b}$), wobei der Induktionsanfang wegen ${\displaystyle {}b\geq 0}$ klar ist. Die Aussage gelte also für ein bestimmtes ${\displaystyle {}a}$. Wenn die erste Möglichkeit gilt, also ${\displaystyle {}a\geq b}$, so gilt wegen

${\displaystyle {}a+1>a\geq b\,}$

erst recht ${\displaystyle {}a+1\geq b}$. Wenn die zweite Möglichkeit gilt, also ${\displaystyle {}a\leq b}$, so gibt es zwei Möglichkeiten. Bei ${\displaystyle {}a=b}$ ist ${\displaystyle {}a+1\geq b}$ und die Gesamtaussage gilt für ${\displaystyle {}a+1}$. Andernfalls ist ${\displaystyle {}a<b}$ und somit ist nach Fakt  (3) ${\displaystyle {}a+1\leq b}$ und die Gesamtaussage gilt erneut.