Wir verwenden die Charakterisierung aus Fakt.

1. Ist klar wegen ${\displaystyle {}a=0+a}$.
2. Wir zeigen die Aussage ${\displaystyle {}a=0}$ oder ${\displaystyle {}a\geq 1}$ für alle ${\displaystyle {}a\in \mathbb {N} }$ durch Induktion über ${\displaystyle {}a}$. Für ${\displaystyle {}a=0}$ ist die Aussage klar. Sei also angenommen, dass die Aussage für ein bestimmtes ${\displaystyle {}a}$ gelte. Dann ist ${\displaystyle {}a=0}$ oder ${\displaystyle {}a\geq 1}$. Im ersten Fall ist dann ${\displaystyle {}1+a=1+0=1}$ und insbesondere ${\displaystyle {}1+a\geq 1}$. Im zweiten Fall ist ${\displaystyle {}a=b+1}$ mit einem ${\displaystyle {}b\in \mathbb {N} }$ und damit ${\displaystyle {}a+1=(b+1)+1=1+(b+1)}$.
3. Wird ähnlich wie (2) bewiesen, siehe Aufgabe.