Beim Induktionsanfang ist ${\displaystyle {}n=1}$, daher besteht die Summe links nur aus einem Summanden, nämlich der ${\displaystyle {}1}$, und daher ist die Summe ${\displaystyle {}1}$. Die rechte Seite ist ${\displaystyle {}{\frac {1\cdot 2}{2}}=1}$, so dass die Formel für ${\displaystyle {}n=1}$ stimmt.

Für den Induktionsschritt setzen wir voraus, dass die Formel für ein ${\displaystyle {}n\geq 1}$ gilt, und müssen zeigen, dass sie auch für ${\displaystyle {}n+1}$ gilt. Dabei ist ${\displaystyle {}n}$ beliebig. Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n+1}k&=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)+n+1\\&={\frac {n(n+1)}{2}}+n+1\\&={\frac {n(n+1)+2(n+1)}{2}}\\&={\frac {(n+2)(n+1)}{2}}.\end{aligned}}}$

Dabei haben wir für die zweite Gleichheit die Induktionsvoraussetzung verwendet. Der zuletzt erhaltene Term ist die rechte Seite der Formel für ${\displaystyle {}n+1}$, also ist die Formel bewiesen.