Wenn die Zahl ${\displaystyle {}n}$ im Zehnersystem aus mehr als ${\displaystyle {}k}$ Ziffern besteht, so ist

${\displaystyle {}n=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{\ell }10^{\ell }\,}$

mit

${\displaystyle {}a_{\ell }\geq 1\,}$

und

${\displaystyle {}\ell \geq k\,.}$

Nach Fakt ist dann

${\displaystyle {}n\geq a_{\ell }10^{\ell }\geq 10^{\ell }\geq 10^{k}\,.}$

Wenn die Zahl ${\displaystyle {}n}$ aus maximal ${\displaystyle {}k}$ Ziffern besteht, so kann man sie als

${\displaystyle {}n=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k-1}10^{k-1}\,}$

mit ${\displaystyle {}a_{i}<10}$ schreiben. Aus Fakt folgt direkt

${\displaystyle {}n\leq 9+9\cdot 10+9\cdot 10^{2}+\cdots +9\cdot 10^{k-1}\,.}$

Wir zeigen durch Induktion über ${\displaystyle {}k}$, dass diese Zahl kleiner als ${\displaystyle {}10^{k}}$ ist. Bei

${\displaystyle {}k=1\,}$

ist

${\displaystyle {}9<10\,}$

(nach Definition ist ${\displaystyle {}10}$ der Nachfolger von ${\displaystyle {}9}$). Im Induktionsschritt von ${\displaystyle {}k}$ nach ${\displaystyle {}k+1}$ folgt aus der Induktionsvoraussetzung wegen

${\displaystyle {}{\begin{aligned}9+9\cdot 10+9\cdot 10^{2}+\cdots +9\cdot 10^{k-1}+9\cdot 10^{k}&<10^{k}+9\cdot 10^{k}\\&=10\cdot 10^{k}\\&=10^{k+1}\end{aligned}}}$

die Behauptung.