Die Ableitung von ${\displaystyle {}f}$ ist

${\displaystyle {}f'(x)=1+\cos x\,.}$

Wegen

${\displaystyle {}-1\leq \cos x\leq 1\,}$

ist ${\displaystyle {}f'(x)\geq 0}$, und da der Kosinus nur bei reellen Zahlen der Form ${\displaystyle {}\pi +n2\pi }$ (${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$) den Wert ${\displaystyle {}-1}$ besitzt, besitzt ${\displaystyle {}f'}$ nur dort eine Nullstelle. Nach Fakt  (2) (angewendet auf ein beliebiges beschränktes Teilintervall) ist die Funktion streng wachsend.