Die Abbildung ${\displaystyle {}\varphi }$ ist wohldefiniert und stetig. Zu einem fixierten, von ${\displaystyle {}0}$ verschiedenen Punkt

${\displaystyle {}{\left({\tilde {x}}_{1},{\tilde {x}}_{2},{\tilde {y}}_{1},{\tilde {y}}_{2}\right)}\in V\,}$

zeigen wir, dass es ein eindeutiges Urbild gibt. Wir behaupten, dass die reelle Bahn ${\displaystyle {}{\left(u^{b}{\tilde {x}}_{1},u^{b}{\tilde {x}}_{2},u^{a}{\tilde {y}}_{1},u^{a}{\tilde {y}}_{2}\right)}}$, ${\displaystyle {}u\in \mathbb {R} _{+}}$ durch diesen Punkt die dreidimensionale Sphäre in genau einem Punkten schneidet. Die Schnittbedingung ist

${\displaystyle {\left(u^{b}{\tilde {x}}_{1}\right)}^{2}+{\left(u^{b}{\tilde {x}}_{2}\right)}^{2}+{\left(u^{a}{\tilde {y}}_{1}\right)}^{2}+{\left(u^{a}{\tilde {y}}_{2}\right)}^{2}=u^{2b}{\left({\tilde {x}}_{1}^{2}+{\tilde {x}}_{2}^{2}\right)}+u^{2a}{\left({\tilde {y}}_{1}^{2}+{\tilde {y}}_{2}^{2}\right)}=1\,.}$

Wegen der monomialen Bedingung sind sowohl ${\displaystyle {}({\tilde {x}}_{1},{\tilde {x}}_{2})}$ als auch ${\displaystyle {}({\tilde {y}}_{1},{\tilde {y}}_{2})}$ von ${\displaystyle {}0}$ verschieden und daher sind ${\displaystyle {}c={\tilde {x}}_{1}^{2}+{\tilde {x}}_{2}^{2}}$ und ${\displaystyle {}d={\tilde {y}}_{1}^{2}+{\tilde {y}}_{2}^{2}}$ positive reelle Zahlen. Es liegt also eine Gleichung der Form

${\displaystyle {}c{\left(u^{b}\right)}^{2}+d{\left(u^{a}\right)}^{2}=1\,}$

vor. Die Gleichung

${\displaystyle {}cv^{2}+dw^{2}=1\,}$

beschreibt eine Ellipse und es muss wegen der Positivität von ${\displaystyle {}u,v,w}$

${\displaystyle {}v=u^{b}\,}$

und

${\displaystyle {}w=u^{a}\,}$

gelten. Dafür gibt es nur eine Lösung in ${\displaystyle {}u}$. (dies sieht man auch, wenn man ${\displaystyle {}c{\left(u^{b}\right)}^{2}+d{\left(u^{a}\right)}^{2}}$ nach ${\displaystyle {}u}$ ableitet und das aymptotische Verhalten dieser Funktion betrachtet). Das legt über ${\displaystyle {}x_{1}:=u^{b}{\tilde {x}}_{1}}$ etc. auch die anderen Koordinaten im Urbild fest.

Die Norm von ${\displaystyle {}\gamma (s)}$ ist wegen

${\displaystyle {}\gamma (s)={\left(e^{2b\pi {\mathrm {i} }s},e^{2a\pi {\mathrm {i} }s}\right)}={\left(\cos 2bs,\sin 2bs,\cos 2as,\sin 2as\right)}={\left({\tilde {x}}_{1},{\tilde {x}}_{2},{\tilde {y}}_{1},{\tilde {y}}_{2}\right)}\,}$

gleich ${\displaystyle {}{\sqrt {2}}}$. Es sei ${\displaystyle {}u_{0}}$ die eindeutig bestimmte positive reelle Zahl mit

${\displaystyle {}u_{0}^{2b}+u_{0}^{2a}=1\,.}$

Die beschriebene Hintereinanderschaltung ist dann

${\displaystyle S^{1}\longrightarrow L,\,s\longmapsto \left(u_{0}^{b}e^{2b\pi {\mathrm {i} }s},\,u_{0}^{a}e^{2a\pi {\mathrm {i} }s}\right)=\left(u_{0}^{b}\cos 2bs,\,u_{0}^{b}\sin 2bs,\,u_{0}^{a}\cos 2as,\,u_{0}^{a}\sin 2as\right).}$