Wir betrachten die algebraische Fläche, die durch die Gleichung

${\displaystyle {}X^{2}Z=Y^{2}\,}$

gegeben ist. Wir wollen sie als die Fläche zu einem Monoidring verstehen. Dazu sei

${\displaystyle {}M=\langle (1,0),(1,1),(0,2)\rangle \subset \mathbb {N} ^{2}\,.}$

Wegen ${\displaystyle {}(1,1)-(1,0)=(0,1)}$ ist ${\displaystyle {}\mathbb {Z} ^{2}}$ das Quotientengitter (Differenzengruppe). Da ${\displaystyle {}2(0,1)=(0,2)\in M}$ ist, muss ${\displaystyle {}\mathbb {N} ^{2}}$ die Normalisierung von ${\displaystyle {}M}$ sein. Die drei Erzeuger ergeben einen surjektiven Monoidhomomorphismus

${\displaystyle \mathbb {N} ^{3}\longrightarrow M,\,e_{i}\longmapsto m_{i}.}$

Diese monomiale Abbildung ${\displaystyle {}\mathbb {N} ^{3}\rightarrow M\subset \mathbb {N} ^{2}}$ bedeutet geometrisch die Abbildung

${\displaystyle {\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}\hookrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{3}},\,(s,t)\longmapsto (s,st,t^{2}).}$

Dabei gehen (monomial gesehen) ${\displaystyle {}2e_{1}+e_{3}}$ und ${\displaystyle {}2e_{2}}$ beide auf das Element ${\displaystyle {}(1,1)}$, und das liefert die Gleichung ${\displaystyle {}X^{2}Z=Y^{2}}$, die man natürlich auch direkt ablesen kann.

Man kann die definierende Gleichung auch als ${\displaystyle {}Z={\left({\frac {Y}{X}}\right)}^{2}}$ ansehen. Von ${\displaystyle {}K[X,Y]}$ ausgehend wird also ein Quadrat zu ${\displaystyle {}{\frac {Y}{X}}}$ adjungiert.