Es gilt die aussagenlogische Ableitbarkeit

${\displaystyle \vdash (Ax\rightarrow Bx)\rightarrow {\left(Ax\wedge Cx\rightarrow Bx\wedge Cx\right)}.}$

Dies fassen wir als eine Aussage vom Typ

${\displaystyle \vdash p\rightarrow (q\rightarrow r)}$

auf. Nach Aufgabe gilt in dieser Situation auch

${\displaystyle \vdash \forall xp\rightarrow \forall x(q\rightarrow r).}$

Nach Fakt  (3) ist

${\displaystyle \vdash \forall x(q\rightarrow r)\rightarrow {\left(\exists xq\rightarrow \exists xr\right)}.}$

Dies zusammengenommen ergibt mit dem Kettenschluss

${\displaystyle \vdash \forall xp\rightarrow {\left(\exists xq\rightarrow \exists xr\right)},}$

was im obigen Spezialfall die gewünschte Ableitbarkeit

${\displaystyle \vdash \forall x(Ax\rightarrow Bx)\rightarrow {\left(\exists xAx\wedge Cx\rightarrow \exists xBx\wedge Cx\right)}}$