Aus aussagenlogischen Gründen (Transitivität der Implikation) gilt

${\displaystyle \vdash (Ax\rightarrow Bx)\wedge (Bx\rightarrow Cx)\rightarrow (Ax\rightarrow Cx).}$

Aus einer ableitbaren Implikation

${\displaystyle \vdash \alpha \rightarrow \beta }$

ergibt sich mittels der Alleinführung im Antezedens

${\displaystyle \vdash \forall x\alpha \rightarrow \alpha }$

und dem Kettenschluss

${\displaystyle \vdash \forall x\alpha \rightarrow \beta }$

und daraus mit der Alleinführung im Sukzedens, die anwendbar ist, da ${\displaystyle {}x}$ vorne und in ${\displaystyle {}\forall x\beta }$ gebunden ist,

${\displaystyle \vdash \forall x\alpha \rightarrow \forall x\beta .}$

Angewendet auf die eingangs aufgeführte Situation ergibt dies

${\displaystyle \vdash \forall x((Ax\rightarrow Bx)\wedge (Bx\rightarrow Cx))\rightarrow \forall x(Ax\rightarrow Cx).}$

Nach Fakt  (2) ist

${\displaystyle \vdash \forall x{\left(\alpha \wedge \beta \right)}\leftrightarrow {\left(\forall x\alpha \wedge \forall x\beta \right)}}$

und so kann man vorne die Allaussage der Konjunktion durch die Konjunktion der Allaussagen ersetzen und erhält die Behauptung.