Es sei ${\displaystyle {}(M,R)}$ gegeben. Sei zunächst ${\displaystyle {}R}$ transitiv und sei

${\displaystyle w\vDash \Box \alpha .}$

Es sei ${\displaystyle {}wRv}$ und ${\displaystyle {}vRz}$ und somit

${\displaystyle z\vDash \alpha .}$

Also ist

${\displaystyle v\vDash \Box \alpha .}$

und damit

${\displaystyle w\vDash \Box \Box \alpha .}$

Es sei nun ${\displaystyle {}R}$ nicht transitiv und seien ${\displaystyle {}w,v,z\in M}$ Punkte mit ${\displaystyle {}wRv}$, ${\displaystyle {}vRz}$, aber nicht ${\displaystyle {}wRz}$. Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Aussagenvariable und sei ${\displaystyle {}\mu }$ die Belegung, bei der ${\displaystyle {}p}$ in allen von ${\displaystyle {}w}$ aus erreichbaren Welten gelte, in allen anderen Welten nicht. Dann ist

${\displaystyle w\vDash \Box p}$

und

${\displaystyle v\not \vDash \Box p,}$

da ja ${\displaystyle {}z\not \vDash p}$, und somit ist

${\displaystyle w\not \vDash \Box \Box p,}$

also

${\displaystyle w\not \vDash \Box p\rightarrow \Box \Box p.}$