Es sei ${\displaystyle {}(M,R)}$ gegeben. Sei zunächst ${\displaystyle {}R}$ euklidisch und sei

${\displaystyle w\vDash \Diamond \alpha .}$

Somit gibt es eine Welt ${\displaystyle {}v}$ mit ${\displaystyle {}wRv}$ und mit

${\displaystyle v\vDash \alpha .}$

Es sei ${\displaystyle {}z}$ eine Welt mit ${\displaystyle {}wRz}$. Nach der euklidischen Eigenschaft ist dann auch ${\displaystyle {}zRv}$, daher ist

${\displaystyle z\vDash \Diamond \alpha .}$

Somit ist

${\displaystyle w\vDash \Box \Diamond \alpha .}$

Es sei nun ${\displaystyle {}R}$ nicht euklidisch und seien ${\displaystyle {}w,v,z\in M}$ Punkte mit ${\displaystyle {}wRv}$, ${\displaystyle {}wRz}$, aber nicht ${\displaystyle {}vRz}$. Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Aussagenvariable und sei ${\displaystyle {}\mu }$ die Belegung, bei der ${\displaystyle {}\neg p}$ in allen von ${\displaystyle {}v}$ aus erreichbaren Welten gelte, in allen anderen Welten nicht. Dann ist

${\displaystyle v\vDash p}$

und somit

${\displaystyle w\vDash \Diamond p.}$

In ${\displaystyle {}z}$ gilt hingegen ${\displaystyle {}\Box \neg p}$, also

${\displaystyle z\vDash \neg \Diamond p.}$

Somit gilt

${\displaystyle w\vDash \neg \Box \Diamond p}$

und damit

${\displaystyle w\not \vDash \Diamond p\rightarrow \Box \Diamond p.}$