(1). Nach der Nezessisierungsregel gilt

${\displaystyle \vdash \Box (\alpha \rightarrow \beta )}$

und nach dem ${\displaystyle {}K}$-Axiom gilt

${\displaystyle \vdash \Box (\alpha \rightarrow \beta )\rightarrow {\left(\Box \alpha \rightarrow \Box \beta \right)}.}$

Durch Modus Ponens ergibt sich

${\displaystyle \vdash \Box \alpha \rightarrow \Box \beta .}$

(2). Aus

${\displaystyle \vdash \alpha \rightarrow \beta }$

folgt durch Kontraposition zunächst

${\displaystyle \vdash \neg \beta \rightarrow \neg \alpha }$

und daraus nach Teil (1)

${\displaystyle \vdash \Box \neg \beta \rightarrow \Box \neg \alpha }$

Erneutes kontraponieren ergibt

${\displaystyle \vdash \neg \Box \neg \alpha \rightarrow \neg \Box \neg \beta ,}$

was

${\displaystyle \vdash \Diamond \alpha \rightarrow \Diamond \beta }$

bedeutet.

(3). Aus der aussagenlogischen Tautologie

${\displaystyle \vdash \alpha \wedge \beta \rightarrow \alpha }$

ergibt sich aus (1) direkt

${\displaystyle \vdash \Box (\alpha \wedge \beta )\rightarrow \Box \alpha .}$

(4). Aus der aussagenlogischen Tautologie

${\displaystyle \vdash \alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \alpha \wedge \beta )}$

ergibt sich mit (1) zunächst

${\displaystyle \vdash \Box \alpha \rightarrow \Box (\beta \rightarrow \alpha \wedge \beta ).}$

Aufgrund des ${\displaystyle {}K}$-Axioms gilt

${\displaystyle \vdash \Box (\beta \rightarrow \alpha \wedge \beta )\rightarrow (\Box \beta \rightarrow \Box (\alpha \wedge \beta )).}$

Der Kettenschluss liefert

${\displaystyle \vdash \Box \alpha \rightarrow (\Box \beta \rightarrow \Box (\alpha \wedge \beta )),}$

was aussagenlogisch äquivalent zu

${\displaystyle \vdash \Box \alpha \wedge \Box \beta \rightarrow \Box (\alpha \wedge \beta )}$

ist.

(5) ergibt sich aus der aussagenlogischen Tautologie

${\displaystyle \vdash \alpha \leftrightarrow \neg \neg \alpha }$

und Teil (1).