Wegen ${\displaystyle {}e\neq 0}$ gehört diese Zahl nicht zu ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$, daher besitzt das Minimalpolynom den Grad ${\displaystyle {}2}$. Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}(\pi +e{\mathrm {i} })^{2}&=\pi ^{2}-e^{2}+2\pi e{\mathrm {i} }\\&=\pi ^{2}-e^{2}+2\pi (\pi +e{\mathrm {i} })-2\pi ^{2}\\&=2\pi (\pi +e{\mathrm {i} })-\pi ^{2}-e^{2}.\end{aligned}}}$

Daher ist

${\displaystyle X^{2}-2\pi X+\pi ^{2}+e^{2}}$