Es ist zu zeigen, dass ${\displaystyle {}M\setminus \{P\}}$ offen ist. Sei dazu ${\displaystyle {}Q\in M\setminus \{P\}}$, also ${\displaystyle {}Q\neq P}$. Dann ist

${\displaystyle {}d(Q,P)=r>0\,}$

und somit ist

${\displaystyle {}Q\in U{\left(Q,r\right)}\subseteq M\setminus \{P\}\,,}$

da ja ${\displaystyle {}P}$ nicht zu diesem offenen Ball gehört. Also gibt es zu jedem Punkt aus ${\displaystyle {}M\setminus \{P\}}$ eine offene Ballumgebung, die ganz in ${\displaystyle {}M\setminus \{P\}}$ drinliegt und daher ist diese Menge offen.