Die Äquivalenz der ersten drei Formulierungen folgt direkt aus Fakt.
Sei (1) erfüllt und eine offene Menge ${\displaystyle {}V\subseteq M}$ gegeben mit dem Urbild ${\displaystyle {}U:=f^{-1}(V)}$. Sei ${\displaystyle {}x\in U}$ ein Punkt mit dem Bildpunkt ${\displaystyle {}y=f(x)\in V}$. Da ${\displaystyle {}V}$ offen ist, gibt es nach Definition ein ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ mit ${\displaystyle {}U{\left(y,\epsilon \right)}\subseteq V}$. Nach (2) gibt es ein ${\displaystyle {}\delta >0}$ mit ${\displaystyle {}f(U(x,\delta ))\subseteq U{\left(y,\epsilon \right)}}$. Daher ist

${\displaystyle {}x\in U{\left(x,\delta \right)}\subseteq U\,}$

und wir haben eine offene Ballumgebung von ${\displaystyle {}x}$ innerhalb des Urbilds gefunden. Deshalb ist ${\displaystyle {}U}$ offen.
Sei (4) erfüllt und ${\displaystyle {}x\in L}$ mit ${\displaystyle {}y=f(x)}$ und ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ vorgegeben. Da der offene Ball ${\displaystyle {}U{\left(y,\epsilon \right)}}$ offen ist, ist wegen (4) auch das Urbild ${\displaystyle {}f^{-1}(U{\left(y,\epsilon \right)})}$ offen. Da ${\displaystyle {}x}$ zu dieser Menge gehört, gibt es ein ${\displaystyle {}\delta >0}$ mit

${\displaystyle {}U{\left(x,\delta \right)}\subseteq f^{-1}(U{\left(y,\epsilon \right)})\,,}$

so dass (1) erfüllt ist.