Metrische Räume/Abbildung/Grenzwert/Charakterisierungen/Fakt/Beweis

Beweis

${}(1)\Rightarrow (2)$ . Da ${}V$ offen ist gibt es ein ${}\epsilon >0$ mit ${}U{\left(b,\epsilon \right)}\subseteq V$ . Aufgrund von (1) gibt es ein ${}\delta >0$ mit ${}f(T\cap U{\left(a,\delta \right)})\subseteq U{\left(b,\epsilon \right)}$ und wir können ${}U=T\cap U{\left(a,\delta \right)}$ nehmen.
${}(2)\Rightarrow (3)$ . Sei eine gegen ${}a$ konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$ und ein ${}\epsilon >0$ gegeben. Für die offene Menge ${}V=U{\left(b,\epsilon \right)}$ gibt es nach (2) eine offene Menge ${}U\subseteq M$ mit ${}a\in U$ und ${}f(U\cap T)\subseteq V$ . Wegen der Offenheit von ${}U$ gibt es auch ein ${}\delta >0$ mit ${}U{\left(a,\delta \right)}\subseteq U$ . Da die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert, gibt es ein ${}N\in \mathbb {N}$ mit ${}x_{n}\in U{\left(a,\delta \right)}$ für alle ${}n\geq N$ . Für diese ${}n$ ist dann ${}f(x_{n})\in U{\left(b,\epsilon \right)}$ , d.h. die Bildfolge konvergiert.
${}(3)\Rightarrow (1)$ . Nehmen wir an, dass ${}b$ nicht der Grenzwert ist. Dann gibt es ein ${}\epsilon >0$ derart, dass es für alle ${}\delta >0$ ein ${}x\in T$ gibt mit ${}x\in U{\left(a,\delta \right)}$ und mit ${}f(x)\not \in U{\left(b,\epsilon \right)}$ . Wir wenden diese Eigenschaft auf die Stammbrüche ${}\delta =1/n$ , ${}n\in \mathbb {N}$ , an und erhalten eine Folge

x_{n}\in U{\left(a,1/n\right)}{\text{ und }}f(x_{n})\not \in U{\left(b,\epsilon \right)}.

Die Folge

{}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }

konvergiert dann gegen

{}x

, die Bildfolge

{}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }

aber nicht gegen

{}b

, im Widerspruch zu (3).

Zur bewiesenen Aussage

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