Es ist

${\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}8&2&1\\0&8&3\\0&0&8\end{pmatrix}}-8{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&2&1\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}}\,}$

und

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0&2&1\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}0&2&1\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&6\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,.}$

Der Vektor ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}$ gehört nicht zum Kern von ${\displaystyle {}M^{2}}$, daher kann man aus den sukzessiven Bildern davon eine Basis wie gewünscht herstellen. Es ist

${\displaystyle {}M{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&2&1\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}}\,}$

und

${\displaystyle {}M^{2}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}}\,.}$

Daher ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}$

eine Basis, bezüglich der die jordansche Normalform

${\displaystyle {\begin{pmatrix}8&1&0\\0&8&1\\0&0&8\end{pmatrix}}}$