Da ${\displaystyle {}\varphi }$ endliche Ordnung besitzt, gibt es ein ${\displaystyle {}k\in \mathbb {N} _{+}}$ mit ${\displaystyle {}\varphi ^{k}=\operatorname {Id} _{V}}$. Damit ist auch

${\displaystyle {}\varphi ^{n+k}=\varphi ^{n}\,}$

für alle ${\displaystyle {}n}$ und somit kommen in der Potenzfolge ${\displaystyle {}\varphi ^{n}}$, ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$, überhaupt nur endlich viele verschiedene Endomorphismen vor. Es sei ${\displaystyle {}m={\max {\left(\Vert {\varphi ^{n}}\Vert ,0\leq n<k\right)}}}$. Dann ist

${\displaystyle {}\Vert {\varphi ^{n}}\Vert \leq m\,}$

für alle ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ und somit ist die Folge normbeschränkt, also